Question

11．閱讀材料：
材料1、若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=$-\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．
材料2、已知實數(shù)m、n滿足m²-m-1=0，n²-n-1=0，且m≠n，求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值．
解：由題知m、n是方程x²-x-1=0的兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)材料1得
m+n=1，mn=-1
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}=\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$=$\frac{1+2}{-1}=-3$
根據(jù)上述材料解決下面問題；
（1）一元二次方程2x²+3x-1=0的兩根為x₁、x₂，則x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$．
（2）已知實數(shù)m、n滿足2m²-2m-1=0，2n²-2n-1=0，且m≠n，求m²n+mn²的值．
（3）已知實數(shù)p、q滿足p²=3p+2，2q²=3q+1，且p≠2q，求p²+4q²的值．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)根與系數(shù)的關系求解；
（2）利用m、n滿足的等式，可把m、n可看作方程2x²-2x-1=0的兩實數(shù)解，則根據(jù)根與系數(shù)的關系得到m+n=1，mn=-$\frac{1}{2}$，接著把m²n+mn²分解得到mn（m+n），然后利用整體代入的方法計算；
（3）先設t=2q，代入2q²=3q+1化簡得到t²=3t+2，根據(jù)p與t滿足的等式可把p與t（即2q）為方程x²-3x-2=0的兩實數(shù)解，則根據(jù)根與系數(shù)的關系得到p+2q=3，p•2q=-2，接著利用完全平方公式變形得到p²+4q²=（p+2q）²-2p•2q，然后利用整體代入的方法計算．

解答 解：（1）x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$；
故答案為-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$；
（2）∵m、n滿足2m²-2m-1=0，2n²-2n-1=0，
∴m、n可看作方程2x²-2x-1=0的兩實數(shù)解，
∴m+n=1，mn=-$\frac{1}{2}$，
∴m²n+mn²=mn（m+n）=-$\frac{1}{2}$×1=-$\frac{1}{2}$；
（3）設t=2q，代入2q²=3q+1化簡為t²=3t+2，
則p與t（即2q）為方程x²-3x-2=0的兩實數(shù)解，
∴p+2q=3，p•2q=-2，
∴p²+4q²=（p+2q）²-2p•2q=3²-2×（-2）=13．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關系：二次項系數(shù)不為1，則常用以下關系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．