Question

11．如圖，在△ABC中，已知AB=9，BC=8，CA=7，AD為內(nèi)角平分線，以AD為弦作一圓．該圓與BC相切，與AB交于M，與AC交于N，則BM+CN=4．

Answer 1

分析 利用面積方法證明：AB：AC=BD：DC，從而可求得BD、和DC的長，然后利用切割線定理可求得BM、CN的長，從而可求得MB+CN=4．

解答 解：過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)D作DG⊥AC，垂足為G．

∵AD是∠BAC的平分線，DED⊥AB，DG⊥AC，
∴DE=DG．
∴△ABD與△ADC的面積比=AB：AC=9：7．
又∵△ABD與△ADC的面積比=BD：DC．
∴BD：DC=9：7．
又∵BD+DC=8，
∴BD=$\frac{9}{2}$，DC=$\frac{7}{2}$．
由切割線定理可知：MB=$\frac{B{D}^{2}}{AB}=\frac{\frac{81}{4}}{9}$=$\frac{9}{4}$，NC=$\frac{D{C}^{2}}{AC}$=$\frac{\frac{49}{4}}{7}$=$\frac{7}{4}$．
∴MB+CN=$\frac{9}{4}+\frac{7}{4}$=$\frac{16}{4}$=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)、切割線定理的應(yīng)用，利用面積法得到BD：DC=9：7是解題的關(guān)鍵．