Question

18．當(dāng)k取什么數(shù)值時(shí)，下列方程有兩個(gè)整數(shù)解？
（1）（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0；
（2）kx²+（k²-2）x-（k+2）=0．

Answer 1

分析 （1）△=b²-4ac=36（3k-1）²-4×（k²-1）×72=9k²-6k+1-8k²+8=（k-3）²≥0，此時(shí)k為任意數(shù)，設(shè)兩個(gè)根為x₁，x₂，且均為整數(shù)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$為整數(shù)，x₁•x₂=$\frac{72}{{k}^{2}-1}$為整數(shù)，得到k²-1只能是±1，±2，±3，±6，且k為整數(shù)，于是得到k²-1=-1，3，即可得到結(jié)果；
（2）△=（k²-2）+4k（k+2）=k⁴+8k+4，設(shè)兩個(gè)根為x₁，x₂，且均為整數(shù)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=$\frac{{k}^{2-2}}{k}$，x₁•x₂=-1-$\frac{2}{k}$，求得k=±2，±1．然后把k=±2，±1分別代入△，當(dāng)k=-1時(shí)，△＜0，于是得到k=1，±2．

解答 解：（1）△=b²-4ac=36（3k-1）²-4×（k²-1）×72=9k²-6k+1-8k²+8=（k-3）²≥0，此時(shí)k為任意數(shù)，
設(shè)兩個(gè)根為x₁，x₂，且均為整數(shù)，
則x₁+x₂=$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$為整數(shù)，x₁•x₂=$\frac{72}{{k}^{2}-1}$為整數(shù)，
∴k²-1只能是±1，±2，±3，±6，且k為整數(shù)，
∴k²-1=-1，3，
∴k=0，±2；
∴當(dāng)k=0，±2時(shí)，方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0有兩個(gè)整數(shù)解；

（2）∵△=（k²-2）+4k（k+2）=k⁴+8k+4，
設(shè)兩個(gè)根為x₁，x₂，且均為整數(shù)，
則x₁+x₂=$\frac{{k}^{2-2}}{k}$，x₁•x₂=-1-$\frac{2}{k}$，
∴k=±2，±1．
把k=±2，±1分別代入△，
則當(dāng)k=-1時(shí)，△＜0，
∴k=1，±2．
∴當(dāng)k=1，±2時(shí)，方程kx²+（k²-2）x-（k+2）=0有兩個(gè)整數(shù)解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．