Question

9．AB是⊙O的一條弦，它的中點為M，過點M作一條非直徑的弦CD，過點C和D作⊙O的兩條切線，分別與直線AB相交于P、Q兩點．求證：PA=QB．

Answer 1

分析 連接OM、OP、OQ、OC、OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PCO=∠QDO=90°，根據(jù)垂徑定理的推論可得OM⊥AB即∠PMO=∠QMO=90°，從而可得∠PCO=∠PMO，∠QDO+∠QMO=180°，即可得到P、C、M、O四點共圓，Q、D、O、M四點共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠OPM=∠OCM，∠ODM=∠OQM．由OC=OD可得∠OCD=∠ODC，從而可得∠OPM=∠OQM，根據(jù)等角對等邊可得OP=OQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）可得MP=MQ，結(jié)合條件MA=MB，就可得到PA=QB．

解答 證明：連接OM、OP、OQ、OC、OD，如圖所示．
∵PC、DQ為⊙O的切線，M為AB的中點，
∴∠PCO=∠QDO=90°，OM⊥AB即∠PMO=∠QMO=90°，
∴∠PCO=∠PMO，∠QDO+∠QMO=180°，
∴P、C、M、O四點共圓，Q、D、O、M四點共圓，
∴∠OPM=∠OCM，∠ODM=∠OQM．
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠OPM=∠OQM，
∴OP=OQ．
∵OM⊥PQ，∴MP=MQ．
∵M(jìn)A=MB，∴PA=QB．

點評 本題主要考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理的推論、四點共圓的判定、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，證到P、C、M、O四點共圓及Q、D、O、M四點共圓，是解決本題的關(guān)鍵．