Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l₁：y=$\frac{3}{4}$x與直線y₂：y=kx+b相交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，直線l₂交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，且OA=$\frac{1}{2}$OB．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線l₂的函數(shù)表達(dá)式；
（2）現(xiàn)將直線l₁沿y軸向上平移5個(gè)單位長度，交y軸于點(diǎn)C，交直線l₂于點(diǎn)D，試求△BCD的面積．

Answer 1

分析 （1）利用直線l₁的解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出OA的長度，從而可以得到OB的長度，根據(jù)圖象求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法列式即可求出直線l₂的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求得平移后的解析式，進(jìn)而求得交點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，
∴y=$\frac{3}{4}$×4=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，3），
∴OA=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵OA=$\frac{1}{2}$OB，
∴OB=2OA=10，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，-10），
設(shè)直線l₂的表達(dá)式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{13}{4}}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的函數(shù)表達(dá)式是y=$\frac{13}{4}$x-10；

（2）將直線l₁沿y軸向上平移5個(gè)單位長度得y=$\frac{3}{4}$x+5，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+5}\\{y=\frac{13}{4}x-10}\end{array}\right.$得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×BC•x_D=$\frac{1}{2}$×（10+5）×6=45．

點(diǎn)評 本題考查了兩直線相交的問題，待定系數(shù)法求直線的解析式，三角形的面積，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．