Question

17．如圖，△ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四個結論：①∠E=∠ABE；②∠ADF-∠BAH=$\frac{1}{2}$∠ABC；③∠ADF=∠AFD；④S_△ABF=$\frac{FM•AH}{2}$．其中正確的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①由BE⊥BF知∠1+∠ABE=90°，∠E+∠3=90°，EF∥BC知∠3=∠2，BF平分∠ABC，∠1=∠2，從而得到∠1=∠3，故∠E與∠ABE相等；
②由∠ADF=∠1+∠BAH，BF平分∠ABC，可得，∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC，故∠ADF-∠BAH=$\frac{1}{2}$∠ABC正確；
③由∠ADF=∠BAH+∠1，∠AFD=∠3+∠AFM，由EF∥BC知∠3=∠2，BF平分∠ABC，∠1=∠2，又由∠BAH+∠DAF＜90°，∠DAF+∠AFM=90°，則∠BAH＜∠AFM，從而可得∠ADF＜∠AFD；
④因為S_△ABF=S_△AMF+S_△BMF，而以MF為底邊，△AMF和△BMF的高之和等于AH，從而可得S_△ABF=$\frac{FM•AH}{2}$正確．

解答 解：如圖所示，∵BE⊥BF，
∴∠1+∠ABE=90°，∠E+∠3=90°．
又∵BF平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵EF∥BC，
∴∠3=∠2．
∴∠1=∠3．
∴∠E=∠ABE．（故①正確）
∵∠ADF=∠1+∠BAH，
∴∠ADF-∠BAH=∠1．
又∵BF平分∠ABC，
∴∠1=∠2=∠ABC．
∴∠ADF-∠BAH=$\frac{1}{2}$∠ABC．（故②正確）
∵∠ADF=∠BAH+∠1，∠AFD=∠3+∠AFM，BF平分∠ABC，EF∥BC，
∴∠1=∠2=∠3．
又∵AH⊥BC，
∴∠BAH+∠DAF＜90°，∠DAF+∠AFM=90°．
∴∠BAH＜∠AFM．
即∠ADF＜∠AFD．（故③錯誤）
∵S_△ABF=S_△AMF+S_△BMF，設△AMF與△BMF以MF為底，底邊上的高分別為h₁，h₂，
∴${S}_{△AMF}=\frac{MF×{h}_{1}}{2}，{S}_{△BMF}=\frac{MF×{h}_{2}}{2}$．
∵h₁+h₂=AH，
∴${S}_{△AMF}=\frac{MF×AH}{2}$．（故④正確）
故選項A錯誤，選項B正確，選項C錯誤，選項D錯誤．
故選A．

點評 此題主要考查了三角形的內角和定理，平行線的性質，角平分線的定義，三角形的外角和不相鄰內角的關系，關鍵是根據題目中信息，靈活變化，判斷結論是否正確，從而得到問題的答案．