Question

9．如圖，將正方形ABCD中的△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△CBP′的位置，且BP=2，AP=1．
（1）求PP′的長(zhǎng)；
（2）連CP，若CP=3，求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABC=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠PBP′=∠ABC=90°，PB=P′B=2，則△PBP′為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解；
（2）首先利用勾股定理的逆定理證明△PCP'是直角三角形，求得∠PP'C=90°，然后根據(jù)△BPP'是等腰直角三角形，求得∠BP'C的度數(shù)，則∠APB即可求得．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC=90°，
∵△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)能與△CBP′重合，
∴∠PBP′=∠ABC=90°，PB=P′B=2，
∴△PBP′為等腰直角三角形，
∴PP′=2PB=2$\sqrt{2}$；
（2）∵P'C=AP=1，
又∵1²+（2$\sqrt{2}$）²=3²，即PC²+P'C²=PP'²，
∴△PCP'是直角三角形，∠PP'C=90°，
又∵△BPP'是等腰直角三角形，
∴∠BP'P=45°，
∴∠BP'C=45°+90°=135°，
∴∠APB=∠BP'C=135°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形與等腰直角三角形性質(zhì)．