Question

1．已知一次函數(shù)y=kx+$\frac{1}{2}$和反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象都經(jīng)過點B（-2，-$\frac{1}{2}$）．
（1）求一次函數(shù)的表達式；
（2）求這兩個函數(shù)的圖象在第一象限的交點A的坐標；
（3）設點C是點B關于直線y=x的對稱點，求sin∠BAC的值．

Answer 1

分析 （1）將點B（-2，-$\frac{1}{2}$）代入y=kx+$\frac{1}{2}$即可得出一次函數(shù)的表達式；
（2）將兩個解析式聯(lián)立，組成方程組，求解即可得出點A的坐標；
（3）根據(jù)對稱求得點C坐標，作AM⊥BC于M，CN⊥AB于N，根據(jù)三角形的面積求出CN，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得出答案．

解答 解：（1）∵點B（-2，-$\frac{1}{2}$）在y=kx+$\frac{1}{2}$上，
∴-2k+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴一次函數(shù)的表達式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$；

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，
整理得x²+x-2=0，
因式分解得（x-1）（x+2）=0，
解得x₁=1，x₂=-2，
所以這兩個函數(shù)的圖象在第一象限的交點A的坐標（1，1）；

（3）∵點C是點B關于直線y=x的對稱點，B（-2，-$\frac{1}{2}$），
∴點C坐標是（-$\frac{1}{2}$，-2）．
作AM⊥BC于M，CN⊥AB于N．
∵A（1，1），B（-2，-$\frac{1}{2}$），C（-$\frac{1}{2}$，-2），
∴AB=AC=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，BC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵AM⊥BC于M，
∴M為BC中點，M（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{5}{4}$），
∴AM=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CN=$\frac{1}{2}$BC•AM，
∴CN=$\frac{BC•AM}{AB}$=$\frac{9\sqrt{5}}{10}$，
∴sin∠BAC=$\frac{CN}{AC}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，方程組的解即為交點坐標．也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積以及三角函數(shù)的定義．