Question

13．如圖，⊙O中，AB、CD是⊙O的直徑，F(xiàn)是⊙O上一點(diǎn)，連接BC、BF，若點(diǎn)B是弧CF的中點(diǎn)．
（1）求證：△ABF≌△DCB；
（2）若CD⊥AF，垂足為E，AB=10，∠C=60°，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)B是弧CF的中點(diǎn)，得BF=BC，根據(jù)HL即可得出△ABF≌△DCB；
（2）易得BC=5，則BF=5，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得出AF，根據(jù)CD⊥AF，得出EF的值即可．

解答 證明：（1）∵AB、CD是⊙O的直徑，
∴AB=CD，∠F=∠CBD=90°，
點(diǎn)B是弧CF的中點(diǎn)，
∴BF=BC，
在Rt△ABF≌Rt△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BF=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△DCB（HL），
（2）∵∠C=60°，
∴∠ABF=60°，
∴∠A=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=10，
∴BF=5，
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∵CD⊥AF，
∴EF=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，圓周角定理，垂徑定理，等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練地運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算，題型較好，綜合性比較強(qiáng)，但難度不大．