Question

2．正方形ABCD的邊長為4，E為正方形外一個動點，∠AED=45°，P為AB中點，線段PE的最小值是2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 由正方形的性質得出∠B=∠ADC=90°，AB=BC=4，∠ACD=45°，由勾股定理求出AC=4$\sqrt{2}$，AB⊥BC，證出PE∥BC，得出O為AC的中點，得出OP=$\frac{1}{2}$BC=2，OC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，證明A、C、E、D四點共圓，由圓周角定理得出AC為直徑，O為圓心，得出OE=OC=2$\sqrt{2}$，于是得到結論．

解答 解：連接AC，BD交于O，如圖所示：
當E、P、O共線時，PE=OE-OP最小，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=90°，AB=BC=4，∠ACD=45°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，AB⊥BC，
∵PE⊥AB，
∴PE∥BC，
∵P為AB中點，
∴O為AC的中點，
∴OP=$\frac{1}{2}$BC=2，OC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
∵∠AED=45°=∠ACD，
∴A、C、E、D四點共圓，
∵∠ADC=90°，
∴AC為直徑，O為圓心，
∴OE=OC=2$\sqrt{2}$，
∴PE=OE-OP═2$\sqrt{2}$-2，
即線段PE的最小值是2$\sqrt{2}$-2；
故答案為：2$\sqrt{2}$-2．

點評 本題考查了點與圓的位置關系、正方形的性質、勾股定理、四點共圓、圓周角定理等知識；熟練掌握正方形的性質，證明四點共圓是解決問題的關鍵．