Question

5．已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，點D是弧AC上的一點，連接AD、BD，AC交BD于點F，DE⊥AB于點E，交AC于點P，∠ABD=∠CBD=∠CAD．
（1）求證：PA=PD；
（2）判斷AP與PF是否相等，并說明理由；
（3）當(dāng)點C為半圓弧的中點，小李通過操作發(fā)現(xiàn)BF=2AD，請問小李的發(fā)現(xiàn)是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請寫出BF與AD正確的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接CD，由AB是半⊙O的直徑，DE⊥AB于E，得到∠DBA+∠DAB=∠ADE+∠DAE=90°，于是得到∠DBA=∠ADE，根據(jù)圓周角定理得到∠DCA=∠DBA=∠DAC，即可求出結(jié)論；
（2）根據(jù)圓周角定理求出∠DAP=∠ADP，求出AP=DP，求出∠BDE=∠DAE，求出DP=FP，即可得出答案；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定求出AD=BF，DA=DG，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖1，連接CD，
∵AB是半⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEA=90°，
∴∠DBA+∠DAB=∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠DBA=∠ADE，
∵點D是弧AC的中點，
∴∠DCA=∠DBA=∠DAC，
∴∠DAP=∠ADP，
∴AP=DP；
（2）AP=PF；
理由是：∵AB是直徑，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠DEB=90°，
∴∠ADE=∠ABD，
∵D為弧AC中點，
∴∠DAC=∠DBA，
∴∠ADE=∠DAC，
∴AP=DP，∠FDE=∠AFD，
∴DP=PF，
∴AP=PF；

（3）小李的發(fā)現(xiàn)是正確的，
理由是：如圖2，延長AD、BC，兩線交于G，
∵C為半圓弧的中點，D是弧AC的中點，
∴∠CBD=∠GAC，∠BCA=∠ACG=90°，AC=BC，
在△CBF和△CAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAG}\\{CB=CA}\\{∠BCA=∠ACG}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△CAG（ASA），
∴BF=AG，
∵BC為直徑
∴∠ADB=90°，
∵D為弧AC中點，
∴∠GBD=∠ABD
在△ADB和△GDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠BDG}\\{DB=DB}\\{∠ABD=∠GBD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△GDB（ASA），
∴DG=DA=$\frac{1}{2}$AG，
∴BF=2AD．

點評 本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．