Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點為C，BE⊥CD，垂足為E，連接AC、BC．
（1）求證：BC平分∠ABE；
（2）若∠ABC=30°，OA=4，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)首先得出∠OCB=∠CBE，進(jìn)而得出∠CBE=∠OBC即可求出BC平分∠ABE；
（2）過A做CF⊥AB于F由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=90°由于∠ABC=30°得到∠A=60°于是得到AC=$\frac{1}{2}$AB=OA=4在Rt△ACF中，∠A=60°，根據(jù)$\frac{CF}{AC}=sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出CF=AC•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，再由角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)果．

解答 證明：（1）∵CD是⊙O切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠OCB=∠CBE，
又∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBE=∠OBC，
即BC平分∠ABE；

（2）過A做CF⊥AB于F，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠A=60°
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=OA=4，
在Rt△ACF中，∠A=60°，
∴$\frac{CF}{AC}=sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CF=AC•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∵BC平分∠ABE，CF⊥AB，
∵CE⊥BE，
∴CE=CF=2$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCB=∠CBE是解題關(guān)鍵．