Question

2．如圖，點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙O上，點(diǎn)C是$\widehat{BE}$的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD垂直于AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接BE交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，BF=15，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由點(diǎn)C是$\widehat{BE}$的中點(diǎn)利用垂徑定理可得出OC⊥BE，由AB是⊙O的直徑可得出AD⊥BE，進(jìn)而可得出AD∥OC，再根據(jù)AD⊥CD可得出OC⊥CD，由此即可證出CD是⊙O的切線．
（2）過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，由點(diǎn)C是$\widehat{BE}$的中點(diǎn)利用圓周角定理可得出∠BAC=∠CAE，根據(jù)角平分線的定理結(jié)合cos∠CAD=$\frac{4}{5}$可求出AB的長(zhǎng)度，在Rt△AOM中，通過解直角三角形可求出AM的長(zhǎng)度，再根據(jù)垂徑定理即可得出AC的長(zhǎng)度．

解答 （1）證明：連接OC，如圖1所示．
∵點(diǎn)C是$\widehat{BE}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，
∴OC⊥BE．
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BE，
∴AD∥OC．
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線．
（2）解：過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，如圖2所示．
∵點(diǎn)C是$\widehat{BE}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，∠BAC=∠CAE，
∴$\frac{EF}{AE}$=$\frac{BF}{AB}$．
∵cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{EF}{AE}$=$\frac{3}{4}$，
∴AB=$\frac{4}{3}$BF=20．
在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO=$\frac{1}{2}$AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，
∴AM=AO•cos∠OAM=8，
∴AC=2AM=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形、平行線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)找出OC⊥CD；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)度．