Question

14．?dāng)?shù)學(xué)思考：（1）如圖1，已知AB∥CD，探究下面圖形中∠APC和∠PAB、∠PCD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論
推廣延伸：（2）①如圖2，已知AA₁∥BA₁，請(qǐng)你猜想∠A₁，∠B₁，∠B₂，∠A₂、∠A₃的關(guān)系，并證明你的猜想；
②如圖3，已知AA₁∥BA_n，直接寫(xiě)出∠A₁，∠B₁，∠B₂，∠A₂、…∠B_n-1、∠A_n的關(guān)系
拓展應(yīng)用：（3）①如圖4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，應(yīng)為B
A.180°+α+β-γ       B.180°-α-γ+β　       C．β+γ-α　      D．α+β+γ　
②如圖5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，請(qǐng)你根據(jù)上述結(jié)論直接寫(xiě)出∠GHM的度數(shù)是30°．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)P作OP∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，再根據(jù)∠APC=∠1+∠2整理即可得證；
（2）①過(guò)點(diǎn)A₂作A₂O∥AA₁，根據(jù)（1）可得∠B₁=∠A₁+∠1，∠B₂=∠2+∠A₃，然后相加整理即可得解；②根據(jù)規(guī)律，A系列的角的和等于B系列的角的和列式即可；
（3）①過(guò)∠x(chóng)的頂點(diǎn)作CD∥AB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和（1）的結(jié)論表示出x即可；②根據(jù)（2）的結(jié)論列式計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作OP∥AB，
∵AB∥CD，
∴OP∥AB∥CD，
∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，
即∠APC=∠PAB+∠PCD；

（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)A₂作A₂O∥AA₁，
由（1）可知∠B₁=∠A₁+∠1，∠B₂=∠2+∠A₃，
所以，∠B₁+∠B₂=∠A₁+∠A₂+∠A₃；
②如圖3，由①可知：
∠A₁+∠A₂+…+∠A_n=∠B₁+∠B₂+…+∠B_n-1；

（3）①如圖4，過(guò)∠x(chóng)的頂點(diǎn)作CD∥AB，
則∠x(chóng)=（180°-α）+（β-γ）=180°-α-γ+β，
②如圖5，由（1）可知，40°+∠GHM+50°=∠G+∠M，
∵∠G=90°，∠M=30°，
∴∠GHM=90°+30°-40°-50°=30°．
故答案為：B；30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于總結(jié)出A系列的角的和等于B系列的角的和．