Question

10．如圖，⊙O₁（R）與⊙O₂（r）外切于點(diǎn)A，BC是外公切線．求證：
（1）$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{R}{r}$；
（2）AB=2R$\sqrt{\frac{r}{R+r}}$．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作O₁E⊥AB于E，O₂F⊥AC于F，連接BO₁，CO₂，由垂徑定理得到BE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$AC，∠O₁BA=∠DAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB²=2AD•R，同理可得，AC²=2AD•r，于是得到結(jié)論；
（2）如圖2，作兩圓的內(nèi)公切線交BC于D，連接BO₁，CO₂，過(guò)O₂作O₂E⊥BO₁于E，則BC=O₂E，根據(jù)勾股定理得到BC=O₂E=$\sqrt{（r+R）^{2}+（R-r）^{2}}$=2$\sqrt{Rr}$，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AD=BD=CD，推出△ABC是直角三角形，由勾股定理得到BC²=AC²+AB²，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，作O₁E⊥AB于E，O₂F⊥AC于F，連接BO₁，CO₂，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$AC，∠O₁BA=∠DAB，
∴△BDA∽△O₁EB，
∴BA：O₁B=DA：EB，即BA：R=DA：$\frac{1}{2}$AB，
∴AB²=2AD•R，
同理可得，AC²=2AD•r，
∴$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{R}{r}$；

（2）如圖2，作兩圓的內(nèi)公切線交BC于D，連接BO₁，CO₂，過(guò)O₂作O₂E⊥BO₁于E，
則BC=O₂E，
∴BC=O₂E=$\sqrt{（r+R）^{2}+（R-r）^{2}}$=2$\sqrt{Rr}$，
∵⊙O₁（R）與⊙O₂（r）外切于點(diǎn)A，BC是外公切線，
∴AD=BD=CD，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC²=AC²+AB²，
∵$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{R}{r}$，
∴AC²=$\frac{A{B}^{2}•r}{R}$，
∴$\frac{A{B}^{2}•r}{R}$+AB²=4Rr，
∴AB=2R$\sqrt{\frac{r}{R+r}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．