Question

15．如圖，△ABC，△CDE是等邊三角形．
（1）求證：AE=BD；
（2）若BD和AC交于點(diǎn)M，AE和CD交于點(diǎn)N，求證：CM=CN；
（3）連結(jié)MN，猜想MN與BE的位置關(guān)系．并加以證明．

Answer 1

分析 （1）欲證明AE=BD，只要證明△ACE≌△BCD（SAS）即可．
（2）欲證明CM=CN，只要證明△BCM≌△ACN（ASA）即可．
（3）結(jié)論：MN∥BE．只要證明△MNC是等邊三角形，即可推出∠CMN=∠BCM，推出MN∥BE．

解答 （1）證明：∵△ABC和△DCE均為等邊三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE=120°，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD．

（2）證明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠CBD=∠CAE，
又∵BC=AC，∠BCM=∠ACN=60°，
在△BCN和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠CAN}\\{CB=CA}\\{∠BCM=∠ACN}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ACN（ASA）
∴CM=CN

（3）結(jié)論：MN∥BE．
理由：∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∵CM=CN，
∴△CMN是等邊三角形，
∴∠CMN=∠BCM=60°，
∴MN∥BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．