Question

4．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與直線y=-x+3交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A 在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C，點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊的拋物線上，PM⊥x軸交直線AB于M．
（1）求拋物線解析式．
（2）當(dāng)PM=2BC時(shí)，求M的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，△APM能否為等腰三角形？若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不能說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)B（3，0）坐標(biāo)代入y=x2+bx+3即可得到二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式求出BC的長，設(shè)直線PM的解析式為x=a，表示出P，M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)PM=2BC，列方程解答；
（3）△APM為等腰三角形則分別討論P(yáng)A=PM，PM=AM，PA=AM三種情況，得出符合條件的解即為點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）、（3，0）
將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x+3．

（2）令y=0，則x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，∴BC=2．
設(shè)直線PM的解析式為x=a，
則P，M兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，a²-4a+3），（a，-a+3）
∴PM=a²-4a+3-（-a+3）=4
解得：a1=-1（舍去），a=4，
∴M的坐標(biāo)為（4，-1）
（3）若△APM為等腰三角形，進(jìn)行分類討論；
①當(dāng)PA=PM時(shí)，P（m，m²-4m+3）則M（m，-m+3），
|PM|=|m²-3m|，|PA|=$\sqrt{{m}^{2}+（{m}^{2}-4m）^{2}}$；
|AM|=$\sqrt{{m}^{2}+（3+m-3）^{2}}$=m$\sqrt{2}$；
由PA=PM可得|m²-3m|=$\sqrt{{m}^{2}+（{m}^{2}-4m）^{2}}$，
解得m=4，m²-4m+3=3，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為P（4，3），
②當(dāng)PA=AM時(shí)，$\sqrt{{m}^{2}+（{m}^{2}-4m）^{2}}$=m$\sqrt{2}$，
解得m=3，或m=5，
當(dāng)m=3時(shí)，m²-4m+3=0，由題意可知m＞3，故m=3不合題意；
當(dāng)m=5時(shí)，m²-4m+3=8，
故點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，8），
③當(dāng)PA=AM時(shí)，|m²-3m|=m$\sqrt{2}$
解得m=3+$\sqrt{2}$或m=3-$\sqrt{2}$，
由題意可知m＞3，故m=3-$\sqrt{2}$舍去，
當(dāng)m=3+$\sqrt{2}$時(shí)，m²-4m+3=2$\sqrt{2}$+2，
故點(diǎn)P坐標(biāo)為（3+$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用．