Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB=AC，點(diǎn)P是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，連接PA，PB，PC．
（1）如圖①，若∠BPC=60°，求證：AC=$\sqrt{3}$AP；
（2）如圖②，sin∠BPC=$\frac{24}{25}$，射線AO分別交PC、BC于E、F．
①求證：∠FOC=∠BAC；
②直接寫出tan∠PAB的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件易證△ABC為等邊三角形，所以∠ACB=60°，因?yàn)辄c(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，所以∠ACP=30°，進(jìn)而證明AC=$\sqrt{3}$AP；
（2）①由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC=2∠CAF，由圓周角定理可得∠FOC=2∠CAF，進(jìn)而可證明∠FOC=∠BAC；
②過點(diǎn)E作EG⊥AC于G，連接OC，設(shè)FC=24a，則OC=OA=25a，因?yàn)镺F=7a，AF=32a．在Rt△AFC中，AC²=AF²+FC²，所以AC=40a，進(jìn)而可求出tan∠PAB的值．

解答 （1）證明：∵弧BC=弧BC，
∴∠BAC=∠BPC=60°．
又∵AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，
∴∠ACP=∠BCP=30°，
∴∠PAB=30°，
∴∠PAC=90°，
又∠APC=∠ABC=60°，
∴AC=$\sqrt{3}$AP．

（2）證明：①∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∴∠BAF=∠CAF，
∴∠BAC=2∠CAF
∵∠FOC=2∠CAF，
∴∠FOC=∠BAC；
②過點(diǎn)E作EG⊥AC于G，連接OC．
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，BF=CF．
∵點(diǎn)P是弧AB中點(diǎn)，
∴∠ACP=∠PCB，∴EG=EF．
∵∠BPC=∠FOC，
∴sin∠FOC=sin∠BPC=$\frac{24}{25}$．
設(shè)FC=24a，則OC=OA=25a，
∴OF=7a，AF=32a．
在Rt△AFC中，AC²=AF²+FC²，∴AC=40a．
在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC=$\frac{EG}{AE}=\frac{FC}{AC}$，
∴$\frac{EG}{32a-EG}=\frac{24a}{40a}$，
∴EG=12a．
∴tan∠PAB=tan∠PCB=$\frac{EF}{CF}=\frac{12a}{24a}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了和圓有關(guān)的綜合題，用的知識點(diǎn)有等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，對學(xué)生的綜合解題能力要求很高，是一道不錯的中考題．