Question

7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A（4，0），點B（0，2），過點A的直線l⊥線段AB，P是直線l上一動點，過點P作PC⊥x軸，垂足為C，把△ACP沿AP翻折180°，使點C落在點D處，且以點A，D，P為頂點的三角形與△ABP相似，則所有滿足此條件的點P的坐標(biāo)是P（5，2），P（8，8），P（0，-8），P（3，-2）．

Answer 1

分析 求出直線L的解析式，證出△AOB∽△PCA，得出$\frac{BO}{AO}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)AC=m，則PC=2m，根據(jù)△PCA≌△PDA，得出$\frac{AD}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)△PAD∽△PBA時，根據(jù)$\frac{AD}{PD}$=$\frac{BA}{PA}$=$\frac{1}{2}$，AB=2$\sqrt{5}$，求出AP=4$\sqrt{5}$，m²+（2m）²=（4$\sqrt{5}$）²，得出m=±4，從而求出P點的坐標(biāo)為（8，8）、（0，-8），若△PAD∽△BPA，得出$\frac{PA}{BA}$=$\frac{AD}{PD}$=$\frac{1}{2}$，求出PA=$\sqrt{5}$，從而得出m²+（2m）²=（$\sqrt{5}$）²，求出m=±1，即可得出P點的坐標(biāo)為（5，2）、（3，-2）．

解答 解：∵直線l過點A（4，0），且l⊥AB，
∴直線L的解析式為；y=2x-8，
∠BAO+∠PAC=90°，
∵PC⊥x軸，
∴∠PAC+∠APC=90°，
∴∠BAO=∠APC，
∵∠AOB=∠ACP，
∴△AOB∽△PCA，
∴$\frac{BO}{CA}$=$\frac{AO}{PC}$，
∴$\frac{BO}{AO}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)AC=m，則PC=2m，
∵△PCA≌△PDA，
∴AC=AD，PC=PD，
∴$\frac{AD}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
如圖1：當(dāng)△PAD∽△PBA時，

則$\frac{AD}{BA}$=$\frac{PD}{PA}$，
則$\frac{AD}{PD}$=$\frac{BA}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AP=4$\sqrt{5}$，
∴m²+（2m）²=（4$\sqrt{5}$）²，
∴m=±4，
當(dāng)m=4時，PC=8，OC=8，P點的坐標(biāo)為（8，8），
當(dāng)m=-4時，如圖2，

PC=8，OC=0，P點的坐標(biāo)為（0，-8），
如圖3，若△PAD∽△BPA，

則$\frac{PA}{BA}$=$\frac{AD}{PD}$=$\frac{1}{2}$，
PA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，
則m²+（2m）²=（$\sqrt{5}$）²，
∴m=±1，
當(dāng)m=1時，PC=2，OC=5，P點的坐標(biāo)為（5，2），
當(dāng)m=-1時，如圖4，PC=2，OC=3，P點的坐標(biāo)為（3，-2）；

則所有滿足此條件的點P的坐標(biāo)是：P（5，2 ），p（8，8），P（0，-8），P（3，-2）．
故答案為：P（5，2 ），p（8，8），P（0，-8），P（3，-2）．

點評 此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意有四個點．