Question

19．如圖1，拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過A（-1，0）、B（2，0）兩點，叫y軸于點C，點P位拋物線上的一個動點，過點P作x軸的垂線交直線BC于點D，交x軸于點E．
（1）請直接寫出拋物線表達式和直線BC的表達式；
（2）如圖1，當點P的橫坐標為$\frac{2}{3}$時，求證：△OED∽△AOC；
（3）若點P在第四象限內(nèi)，當OD=CP時，求△POD的面積；
（4）M是x軸上的一點，是否存在以點B、C、P、M為頂點的平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）、B（2，0）代入y=ax²+bx-2求出a、b，再求出C的坐標，代入直線BC即可，
（2）把x=$\frac{2}{3}$分別代入拋物線y₁=x²-x-2和直線y₂=x-2得求出點P、D的坐標，得出$\frac{OE}{OA}$=$\frac{ED}{OC}$，再根據(jù)∠OED=∠AOC=90°，即可得出△OED∽△AOC，
（3）設P、D兩點的坐標分別為P（m，m²-m-2）、（m，m-2），過點C作CF⊥PD于點F，先證出Rt△OED≌Rt△CFP，得出PF=DE，m²-m=2-m，求出P、D兩點的坐標，從而得出OE、PD，最后根據(jù)S_△POD=$\frac{1}{2}$PD•OE代入計算即可，
（4）分四種情況討論，若四邊形BCP₁M₁是平行四邊形，P₁的縱坐標是-2，-2=x²-x-2得出x₁=0（舍去），x₂=1，從而求出M的坐標，若四邊形BCM₃P₃是平行四邊形，作P₃N⊥M₃B，根據(jù)2=x²-x-2，得出x₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，即可求出M₃、M₄的坐標．

解答 解：（1）拋物線表達式：y₁=x²-x-2，直線BC的表達式：y₂=x-2，
（2）如圖1，當點P的橫坐標為$\frac{2}{3}$時，把x=$\frac{2}{3}$分別代入拋物線y₁=x²-x-2和直線y₂=x-2得：
y₁=-$\frac{20}{9}$，y₂=-$\frac{4}{3}$，
則點P、D的坐標分別為（$\frac{2}{3}$，-$\frac{20}{9}$），D（$\frac{2}{3}$，-$\frac{4}{3}$），
OE=$\frac{2}{3}$，OA=1，DE=$\frac{4}{3}$，OC=2，
∵$\frac{OE}{OA}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{ED}{OC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OE}{OA}$=$\frac{ED}{OC}$，
∵∠OED=∠AOC=90°，
∴△OED∽△AOC，
（3）設P、D兩點的坐標分別為P（m，m²-m-2）、（m，m-2），
如圖2，過點C作CF⊥PD于點F，∵DE=2-m，PE=-m²+m+2，EF=2，
∴PF=EF-PE=2-（-m²+m+2）=m²-m，
在Rt△OED和Rt△CFP中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=CP}\\{OE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OED≌Rt△CFP（HL），
∴PF=DE，
∴m²-m=2-m，
m₁=$\sqrt{2}$，m₂=-$\sqrt{2}$（舍去），
∴P、D兩點的坐標分別為（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-2），
∴OE=$\sqrt{2}$，PD=2$\sqrt{2}$-2，
∴S_△POD=$\frac{1}{2}$PD•OE=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$-2）×$\sqrt{2}$=2-$\sqrt{2}$，
（4）如圖3，若四邊形BCP₁M₁是平行四邊形，
則P₁的縱坐標是-2，
由-2=x²-x-2得：
x₁=0（舍去），x₂=1，
∴CP₁=1，
∴M₁B=M₂B=1，
∴M₁的坐標為（3，0），M₂的坐標為（1，0），
如圖4，若四邊形BCM₃P₃是平行四邊形，作P₃N⊥M₃B，
∵△M₃P₃N≌△BCO，
∵BO=CO=2，
∴P₃N=M₃N=2，
由y₁=x²-x-2得：2=x²-x-2，
解得：x₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
∴ON=-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
∴M₃O=1-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
∴M₃的坐標為（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，0），
若四邊形BCM_4P4是平行四邊形，作P₄Q⊥OB，
∵△M_4P4N≌△BCO，
∴P₄Q=M₄Q=2，
由y₁=x²-x-2得：2=x²-x-2，
解得：x₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$（舍去），
∴OQ=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
∴M₄O=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$-2=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，
∴M₄的坐標為（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，0）．

點評 此題考查了二次函數(shù)綜合，用到的知識點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、一元二次方程等，關鍵是根據(jù)題意畫出所有圖形，注意把不合題意的解舍去．