Question

10．如圖1．△ABC的邊AB為⊙O的弦，AC、BC分別交⊙O于D、E，$\widehat{AD}$=$\widehat{BE}$，∠C=60°．
（1）求證：△ABC為等邊三角形；
（2）如圖2，F是弧AD上一點，連接FE并延長至G，連接BG，若∠AFB=∠G，求∠FBG的度數．
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接FC并延長交BG延長線于H，若CF=CH，AF=7，HG=12，求線段BF的長度．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠A=∠B即可解決問題．
（2）只要證明∠ABF=∠EBG，即可推出∠FBG=∠ABC=60°．
（3）如圖3中，作CP∥FG，交BH于P，作FQ⊥BH于Q．設BQ=x，首先證明△ABF≌△CBP，推出PC=AF=7，BF=PB，推出BF=BP=2BQ=2x，FQ=$\sqrt{3}$x，GQ=2x-x-6=x-6，在Rt△FGQ中，由FG²=FQ²+GQ²，列出方程即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BE}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BD}$，
∴∠A=∠B，
∵∠C=60°，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ABC是等邊三角形．

（2）解：如圖2中，

∵∠BEG+∠BEF=180°，∠BEF+∠FAB=180°，
∴∠BEG=∠BAF，
∵∠BEG+∠G+∠EBG=180°，∠AFB+∠FAB+∠ABF=180°，∠AFB=∠G，
∴∠ABF=∠EBG，
∴∠FBG=∠ABC=60°．

（3）解：如圖3中，作CP∥FG，交BH于P，作FQ⊥BH于Q．設BQ=x，

∵FC=CH，
∴HP=PG，
∴FG=2PC，∠FGB=∠CPB，
∵∠AFB=∠FGB，
∴∠AFB=∠CPB，
在△ABF和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠CPB}\\{∠ABF=∠CBP}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBP，
∴PC=AF=7，BF=PB
∴FG=14．
在Rt△FBQ 中，∵∠FQB=90°，∠FBQ=60°，
∴∠BFQ=30°，
∴BF=BP=2BQ=2x，FQ=$\sqrt{3}$x，GQ=2x-x-6=x-6，
在Rt△FGQ中，∵FG²=FQ²+GQ²，
∴14²=（$\sqrt{3}$x）²+（6-x）²，
∴x=8或-5（舍棄），
∴BF=2x=16．

點評 本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質、勾股定理、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．