Question

16．如圖，等邊△ABC的邊長為8，E為AC上一動點，ED⊥AB于D，DF⊥BC于F．
（1）若CE=2，求CF的長；
（2）當CE取何值時，DE=DF？

Answer 1

分析 （1）因為AC=8，CE=2，所以AE=AC-CE=6，又因為在Rt△AED中∠AED=90°-∠A=30°，根據(jù)直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半可得AD=$\frac{1}{2}$AE=3，所以BD=AB-AD=5，同理可知，在Rt△BFD中∠BDF=90°-∠B=30°，BF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$，CF=BC-FB=$\frac{11}{2}$，則可根據(jù)CF=BC-FB求得結(jié)果；
（2）根據(jù)AAS證得△BDE≌△CFE，則有AD=BF=$\frac{1}{2}$BD，AD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{8}{3}$，AE=2AD=$\frac{16}{3}$，則有CE=AC-AE=$\frac{8}{3}$時，DE=DF．

解答 解：（1）∵AC=8，CE=2，
∴AE=AC-CE=6，
在Rt△AED中，
∠AED=90°-∠A=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE=3，
∴BD=AB-AD=5，
在Rt△BFD中
∠BDF=90°-∠B=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$，
∴CF=BC-FB=$\frac{11}{2}$；

（2）在△AED和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BFD}\\{∠A=∠B}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BDF（AAS）
∴AD=BF，
∴AD=BF=$\frac{1}{2}$BD，
∴AD=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{8}{3}$，
∴AE=2AD=$\frac{16}{3}$，
∴CE=AC-AE=$\frac{8}{3}$，
∴CE=$\frac{8}{3}$時，DE=DF．

點評 本題把全等三角形的判定和性質(zhì)結(jié)合求解，考查學生綜合運用數(shù)學知識的能力．充分掌握和理解直角三角形中的一些特殊的對應(yīng)關(guān)系并靈活運用可解得此題．