Question

5．如圖，在△ABC中，當(dāng)∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=$\sqrt{3}$，過(guò)AB的中點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線DE上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，CD
（1）求證：CE=AE；
（2）若PD=2，求△APB的面積；
（3）若△APB是直角三角形，請(qǐng)直接寫出PE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=AD=$\frac{1}{2}$AB，然后由等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=$\sqrt{3}$，求得AB=2BC=2$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=AD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，于是求得S_△ADP=$\frac{1}{2}$PD•AE=$\frac{1}{2}×2×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，即可得到結(jié)論；
（3）分兩種情況：①當(dāng)∠PBA=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到PD=2BD=2$\sqrt{3}$，于是求得PE=PD+DE=2$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，②當(dāng)∠APB=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到PD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，于是求得PE=PD+DE=$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵DE⊥AC，
∴CE=AE；

（2）解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=$\sqrt{3}$，
∴AB=2BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3，
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∵DE⊥AC，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，DE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ADP=$\frac{1}{2}$PD•AE=$\frac{1}{2}×2×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴S_△APB=2S_△ADP=3．

（3）解：∵△APB是直角三角形，
∴①當(dāng)∠PBA=90°，
∵∠PDB=∠ADE=60°，
∴∠BPD=30°，
∴PD=2BD=2$\sqrt{3}$，
∴PE=PD+DE=2$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
②當(dāng)∠APB=90°，
∴PD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴PE=PD+DE=$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
③當(dāng)∠BAP=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠CAP=60°，
∵AD=BD=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\frac{3}{2}$，
∴PE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
④當(dāng)∠APB=90°，
PD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
，綜上所述：若△APB是直角三角形，PE的長(zhǎng)為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．