Question

7．在?ABCD中，點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為B′，連接AB′，CB′，CB′交AD于F點(diǎn)．
（1）如圖1，∠ABC=90°，求證：F為CB′的中點(diǎn)；
（2）小宇通過觀察、實(shí)驗(yàn)、提出猜想：如圖2，在點(diǎn)B繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)F始終為CB′的中點(diǎn)．小宇把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：
想法1：過點(diǎn)B′作B′G∥CD交AD于G點(diǎn)，只需證三角形全等；
想法2：連接BB′交AD于H點(diǎn)，只需證H為BB′的中點(diǎn)；
想法3：連接BB′，BF，只需證∠B′BC=90°．
…
請(qǐng)你參考上面的想法，證明F為CB′的中點(diǎn)．（一種方法即可）
（3）如圖3，當(dāng)∠ABC=135°時(shí)，AB′，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，求$\frac{CE}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）證明：根據(jù)已知條件得到□ABCD為矩形，AB=CD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠D=∠BAD=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）方法1：如圖2，過點(diǎn)B′作B′G∥CD交AD于點(diǎn)G，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到∠1=∠2，AB=AB′，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠2=∠3，∠1=∠3，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠4=∠D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；方法2：連接BB′交直線AD于H點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到B′H=HB，由平行線分線段成比例定理得到結(jié)論；方法3：連接BB′，BF，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AD是線段B′B的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到B′F=FB，得到∠1=∠2，由平行線的性質(zhì)得到∠B′BC=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠3=∠4，于是得到結(jié)論；
（3）取B′E的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，由（2）得，F(xiàn)為CB′的中點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD=180°-∠ABC=45°，由對(duì)稱性的性質(zhì)得到∠EAD=∠BAD=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠GFA=∠FAB=45°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，
∴□ABCD為矩形，AB=CD，
∴∠D=∠BAD=90°，
∵B，B′關(guān)于AD對(duì)稱，
∴∠B′AD=∠BAD=90°，AB=AB′，
∴∠B′AD=∠D，
∵∠AFB′=∠CFD，
在△AFB′與△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B′AD=∠D}\\{∠AFB′=∠CFD}\\{AB′=CD}\end{array}\right.$，
∴△AFB′≌△CFD（AAS），
∴FB′=FC，
∴F是CB′的中點(diǎn)；

（2）證明：
方法1：如圖2，過點(diǎn)B′作B′G∥CD交AD于點(diǎn)G，
∵B，B′關(guān)于AD對(duì)稱，
∴∠1=∠2，AB=AB′，
∵B′G∥CD，AB∥CD，
∴B′G∥AB．
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴B′A=B′G，
∵AB=CD，AB=AB′，
∴B′G=CD，
∵B′G∥CD，
∴∠4=∠D，
∵∠B′FG=∠CFD，
在△B′FG與△CFD中$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠D}\\{∠B′FG=∠DFC}\\{B′G=CD}\end{array}\right.$，
∴△B′FG≌△CFD（AAS），
∴FB′=FC，
∴F是CB′的中點(diǎn)；

方法2：連接BB′交直線AD于H點(diǎn)，
∵B，B′關(guān)于AD對(duì)稱，
∴AD是線段B′B的垂直平分線，
∴B′H=HB，
∵AD∥BC，
∴$\frac{B′F}{FC}$=$\frac{B′H}{HB}$=1，
∴FB′=FC．
∴F是CB′的中點(diǎn)；
方法3：連接BB′，BF，
∵B，B′關(guān)于AD對(duì)稱，
∴AD是線段B′B的垂直平分線，
∴B′F=FB，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴B′B⊥BC，
∴∠B′BC=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴FB=FC，
∴B′F=FB=FC，
∴F是CB′的中點(diǎn)；

（3）解：取B′E的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，
∵由（2）得，F(xiàn)為CB′的中點(diǎn)，
∴FG∥CE，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$CE，
∵∠ABC=135°，□ABCD中，AD∥BC，
∴∠BAD=180°-∠ABC=45°，
∴由對(duì)稱性，∠EAD=∠BAD=45°，
∵FG∥CE，AB∥CD，
∴FG∥AB，
∴∠GFA=∠FAB=45°，
∴∠FGA=90°，GA=GF，
∴FG=sin∠EAD•AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF，
∴由①，②可得$\frac{CE}{AF}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．