Question

1．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)A，D，C在同一直線上，直線CE交BD于F，連接AF，點(diǎn)M，N分別是BD，CE的中點(diǎn)，有下列說法：①BD=CE；②CF⊥BD；③AF平分∠DFC；④△AMN是等腰直角三角形．其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 通過證明△ABD≌△ACE，即可得出BD=CE，①正確；得出∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC，由角的互余關(guān)系證出∠DFC=90°，得②正確；
作AG⊥BD于G，作AH⊥CF于H，證出矩形AGFH是正方形，得出AF平分∠DFC，③正確；
由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)證出AM=AN，再證出∠MAN=90°，④正確．

解答 解：在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE（①正確），
∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ADB+∠ACE=90°，
∴∠DFC=90°，
∴CF⊥BD（②正確）；
作AG⊥BD于G，作AH⊥CF于H，如圖所示：
則四邊形AGFH是矩形，
在△ADG和△ANH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGD=∠AHE=90°}&{\;}\\{∠ADG=∠AEH}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
△ADG≌△ANH（AAS），
∴AG=AH，
∴矩形AGFH是正方形，
∴AF平分∠DFC（③正確）；
∵點(diǎn)M，N分別是BD，CE的中點(diǎn)，
∴AM=$\frac{1}{2}$BD=BM，AN=$\frac{1}{2}$CE=EN，
∴AM=AN，∠MAB=∠ABD，∠NAE=∠AEC，
∵∠ABD=∠ACE，∠ACE+∠NAE=90°，
∴∠MAB+∠NAE=90°，即∠MAN=90°，
∴△AMN是等腰直角三角形，④正確；
正確的結(jié)論有4個(gè)，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、正方形的判定方法；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．