Question

15．課本中有一個例題：
有一個窗戶形狀如圖1，上部是一個半圓，下部是一個矩形，如果制作窗框的材料總長為6m，如何設(shè)計這個窗戶，使透光面積最大？
這個例題的答案是：當(dāng)窗戶半圓的半徑約為0.35m時，透光面積最大值約為1.05m²．
我們?nèi)绻�改變這個窗戶的形狀，上部改為由兩個正方形組成的矩形，如圖2，材料總長仍為6m，利用圖3，解答下列問題：
（1）若AB為1m，求此時窗戶的透光面積？
（2）與課本中的例題比較，改變窗戶形狀后，窗戶透光面積的最大值有沒有變大？請通過計算說明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形和正方形的周長進行解答即可；
（2）設(shè)AB為xcm，利用二次函數(shù)的最值解答即可．

解答 解：（1）由已知可得：AD=$\frac{6-1-1-1-\frac{1}{2}}{2}=\frac{5}{4}$，
則S=1×$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$m²，
（2）設(shè)AB=xm，則AD=3-$\frac{7}{4}x$m，
∵$3-\frac{7}{4}x＞0$，
∴$0＜x＜\frac{12}{7}$，
設(shè)窗戶面積為S，由已知得：
$S=AB•AD=x（3-\frac{7}{4}x）=-\frac{7}{4}{x}^{2}+3x=-\frac{7}{4}（x-\frac{6}{7}）^{2}+\frac{9}{7}$，
當(dāng)x=$\frac{6}{7}$m時，且x=$\frac{6}{7}$m在$0＜x＜\frac{12}{7}$的范圍內(nèi)，${S}_{最大值}=\frac{9}{7}{m}^{2}＞1.05{m}^{2}$，
∴與課本中的例題比較，現(xiàn)在窗戶透光面積的最大值變大．

點評 此題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的最值解答．