Question

9．如圖，在面積為3的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和AD上的點，DE⊥CF于點P，且DF=1，S_△DPF=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
（1）求BE的長；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）先證明△ADE≌△DCF，得出AE=DF，再由面積求出邊長AB，即可得出BE；
（2）先求出S_△ADE=S_△DCF=$\frac{1}{2}$DF•DC，再由正方形的面積減去△ADE和△DCF的面積加上△DCF的面積即為陰影部分的面積．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠A=∠ADC=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵DE⊥CF，
∴∠DPF=90°，
∴∠DFC+∠ADE=90°，
∴∠AED=∠DFC，
在△ADE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ADC}&{\;}\\{AD=DC}&{\;}\\{∠AED=∠DFC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴AE=DF=1，
∵S_{正方形ABCD}=AB²=3，
∴AB=$\sqrt{3}$，
∴BE=AB-AE=$\sqrt{3}$-1；
（2）∵△ADE≌△DCF，
∴S_△ADE=S_△DCF=$\frac{1}{2}$DF•DC=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴陰影部分的面積=3-2S_△DCF+S_△DPF=3-$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{8}$=3-$\frac{7\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及陰影面積的求法；證明三角形全等和陰影面積的間接求法是解決問題的關(guān)鍵．