Question

7．為測(cè)出所住小區(qū)的面積，某人進(jìn)行了一些測(cè)量工作，所得數(shù)據(jù)如圖所示，則小區(qū)的面積是（　�。�

• A． $\frac{3+\sqrt{6}}{4}$km²
• B． $\frac{3-\sqrt{6}}{4}$km²
• C． $\frac{6+\sqrt{3}}{4}$km²
• D． $\frac{6-\sqrt{3}}{4}$km²

Answer 1

分析 把圖形切割成規(guī)則的幾何圖形，然后計(jì)算出不規(guī)則小區(qū)的面積．

解答 解：過點(diǎn)D做DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)C做CF⊥AB，垂足為F，過點(diǎn)D做DG⊥CF，垂足為G．
設(shè)AE的長(zhǎng)為xkm．
在Rt△AED中，由于∠A=45°，所以DE=AE=xkm．
在Rt△BCF中，由于∠B=60°，BC=1，所以∠BCF=30°，BF=$\frac{1}{2}$，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
在Rt△CGD中，由于∠DCG=105°-30°=75°，所以∠CDG=15°．
在矩形DEFG中，EF=DG=$\frac{3}{2}-a$，DE=FG=xkm，CG=CF-GF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-a．
在Rt△CGD中，tan∠CDG=$\frac{CG}{DG}$，即tan15°=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-a}{\frac{3}{2}-a}$
因?yàn)閠an15°=2-$\sqrt{3}$，所以$\frac{\sqrt{3}}{2}-a=（2-\sqrt{3}）（\frac{3}{2}-a）$
解得：a=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
S_小區(qū)=S_△AED+S_梯形DEFC+S_△CFB
=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）（$\frac{3}{2}$-a）+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{6-\sqrt{3}}{4}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形的面積和梯形的面積及根式的加減，解決本題的關(guān)鍵是把不規(guī)則的四邊形切割成直角三角形和梯形，充分利用特殊角60°和45°..