Question

2．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8個(gè)內(nèi)角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長(zhǎng)分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 雙向延長(zhǎng)AB、CD、EF、GH得四邊形MNPQ，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出各內(nèi)角的度數(shù)，故可得出其外角的度數(shù)，由此得出四邊形MNPQ是長(zhǎng)方形，BPC、△DQE、△FMG、△ANH都是等腰直角三角形．設(shè)GH=x，HA=y，根據(jù)MQ=NP可得出y的值，同理得出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，雙向延長(zhǎng)AB、CD、EF、GH得四邊形MNPQ，
∵八邊形ABCDEFGH的8個(gè)內(nèi)角都相等，
∴每個(gè)內(nèi)角=$\frac{（8-2）×180°}{8}$=135°，
∴每一個(gè)外角等于45°，
∴四邊形MNPQ是長(zhǎng)方形，BPC、△DQE、△FMG、△ANH都是等腰直角三角形．
設(shè)GH=x，HA=y，
∵M(jìn)Q=NP，
∴MF+EF+EQ=NA+AB+BP，即$\sqrt{2}$+6+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+7+2，解得y=3-$\sqrt{2}$．
同理可得，x=3+2$\sqrt{2}$，
∴該八邊形的周長(zhǎng)=32+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．