Question

3．如圖．在矩形ABCD中，AB=3．BC=6，DE平分∠ADC交BC于E，點(diǎn)P是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)∠ADP=30°，求BP的長(zhǎng)；
（2）以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)⊙P與四邊形ABPD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB=3，AD∥BC，由平行線的性質(zhì)得到∠DPC=∠ADP，由∠ADP=30°，得到∠DPC=30°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（2）由題意知，若⊙P與四邊形ABPD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，有以下兩種情況：①如圖1，當(dāng)⊙P與AD相切于點(diǎn)D時(shí)，有PD⊥AD，即點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PB=BC=6；②當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABO=90°，然后由勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，AB=3．BC=6，
∴CD=AB=3，AD∥BC，
∴∠DPC=∠ADP，
∵∠ADP=30°，
∴∠DPC=30°，
∴PC=$\frac{CD}{tan30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3$\sqrt{3}$，
∴PB=BC-PC=6-3$\sqrt{3}$；

（2）由題意知，若⊙P與四邊形ABPD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，有以下兩種情況：
①如圖1，當(dāng)⊙P與AD相切于點(diǎn)D時(shí)，有PD⊥AD，即點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，此時(shí)PB=BC=6；

②當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，由題意，得∠ABO=90°，
∴點(diǎn)B為切點(diǎn)，如圖2，

PB²=PD²=PC²+CD²=（6-PB）²+3³，
解得：PB=$\frac{15}{4}$，
綜上所述：當(dāng)⊙P與四邊形ABPD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，BP的長(zhǎng)為6或$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．