Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，割線DA，DB分別交⊙O于點E，C，且AD=AB，∠DAB是銳角，連接EC、OE、OC．
（1）求證：△OBC≌△OEC．
（2）填空：
①若AB=2，則△AOE的最大面積為$\frac{1}{2}$；
②當∠ABD的度數(shù)為60°時，四邊形OBCE是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用垂直平分線，判斷出∠BAC=∠DAC，得出EC=BC，用SSS判斷出結論；
（2）先判斷出三角形AOE面積最大，只有點E到直徑AB的距離最大，即是圓的半徑即可；
（3）由菱形判斷出△AOC是等邊三角形即可．

解答 解：（1）連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BD，
∵AD=AB，
∴∠BAC=∠DAC，
∴$\widehat{BC}=\widehat{EC}$，
∴BC=EC，
在△OBC和△OEC中$\left\{\begin{array}{l}{BC=EC}\\{OB=OE}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△OEC，
（2）∵AB是⊙O的直徑，且AB=2，
∴OA=1，
設△AOE的邊OA上的高為h，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$OA×h=$\frac{1}{2}$×1×h=$\frac{1}{2}$h，
∴要使S_△AOE最大，只有h最大，
∵點E在⊙O上，
∴h最大是半徑，
即h_最大=1
∴S_△AOE最大=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$，
（3）由（1）知，BC=EC，OC=OB，
∵四邊形OBCE是菱形．
∴BC=OB=OC，
∴∠ABD=60°，
故答案為60°．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積，菱形的性質和判定，解本題的關鍵是確定面積最大時，點E到AB的距離最大是半徑．