Question

5．如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=17cm，BC=20cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB方向向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形？并寫出你的推理過程；
（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在四邊形PQBA是矩形的時(shí)刻？若存在，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)四邊形PQBA是正方形時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，表示出AP，CQ，PD，BQ，
（1）由四邊形PQCD是平行四邊形，得出PD=CQ，建立方程求解即可；
（2）由四邊形PQBA是矩形，得出AP=BQ建立方程求解即可；
（3）由（2）和四邊形PQBA是正方形，得出DE=AB=AP=3，再用勾股定理求解即可．

解答 解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AP=t，CQ=3t，
∴PD=17-t，BQ=20-3t，
（1）∵四邊形PQCD是平行四邊形，且AD∥BC，
∴PD=CQ，
∴17-t=3t，
∴t=$\frac{17}{4}$，
即：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)$\frac{17}{4}$秒時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形；
（2）存在，
理由：∵四邊形PQBA是矩形，且AD∥BC，∠B=90°，
∴AP=BQ，
∴t=20-3t，
∴t=5，
即：運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5秒時(shí)，四邊形PQBA是矩形，
（3）如圖，

過點(diǎn)D作DE⊥BC，
∴四邊形ADEB是矩形，
∴DE=AB，BE=AD，
由（2）有t=5時(shí)，四邊形PQBA是矩形，
∴AP=t=5，
∵四邊形PQBA是正方形，
∴AB=AP=5，
∴DE=AB=5，
在Rt△CDE中，DE=4，CE=BC-BE=BC-AD=20-17=3，
根據(jù)勾股定理得，CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{25+9}$=$\sqrt{34}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形，矩形，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想解決問題．