Question

9．△ABC外接圓的圓心為O，點(diǎn)P、Q分別在線段CA、AB上，K、L、M分別是BP、CQ、PQ的中點(diǎn)，圓O過K、L、M并且與PQ相切，證明：OP=OQ．

Answer 1

分析 如圖，連接ML、MK、KL、OA、OC、OB、OP、OQ，作OG⊥AC于G，OH⊥AB于H．首先證明△APQ∽△MKL，推出$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{MK}{ML}$=$\frac{BQ}{CP}$，推出AP•PC=AQ•QB，再證明OG²=OP²-PG²=OA²-AG²，OA²-OQ²=AQ•BQ，推出OA²-OP²=OA²-OQ²，由此即可解決問題．

解答 證明：如圖，連接ML、MK、KL、OA、OC、OB、OP、OQ，作OG⊥AC于G，OH⊥AB于H．

∵PM=MQ，PK=KB，
∴MK=$\frac{1}{2}$BQ，MK∥BQ，
∴∠AQP=∠QMK，
∵PQ是⊙O切線，
∴∠QMK=∠MLK，
∴∠AQP=∠MLK，
∵QM=MP，QL=LC，
∴ML=$\frac{1}{2}$PC，ML∥AC，
∴∠APQ=∠PML=∠MKL，
∴△APQ∽△MKL，
∴$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{MK}{ML}$=$\frac{BQ}{CP}$，
∴AP•PC=AQ•QB，
∵OG⊥AC，OA=OC，
∴AG=GC，
∴OG²=OP²-PG²=OA²-AG²，
∴OA²-OP²=AG²-PG²=（AG+PG）（AG-PG）=PC•PA，
∵OH⊥AB，同理可得OA²-OQ²=AQ•BQ，
∴OA²-OP²=OA²-OQ²，
∴OP=OQ．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、三角形中位線定理、三角形外接圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，記住一些基本圖形的基本結(jié)論，屬于競賽題目．