Question

11．如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不動(dòng)，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BE、CD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連接AF．
（1）如圖①，當(dāng)∠BAE=90°時(shí)，求證：CD=2AF；
（2）當(dāng)∠BAE≠90°時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？請(qǐng)結(jié)合圖②說(shuō)明理由；
（3）如圖②，若∠ADC=90°，AD=5，AC=13，求BE²的值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)锳F是直角三角形ABE的中線，所以BE=2AF，然后通過(guò)△ABE≌△ACD即可求得；
（2）延長(zhǎng)EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，證出△ABH≌△ACD從而證得BH=CD，然后根據(jù)三角形的中位線等于底邊的一半，求得BH=2AF，即可求得；
（3）根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出BH、EH，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

解答 （1）證明：如圖①，
∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，
∴∠DAC=90°，
在△ABE與△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠BAE=∠CAD=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD=BE，
∵在Rt△ABE中，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，
∴BE=2AF，
∴CD=2AF；
（2）成立，
證明：如圖②，延長(zhǎng)EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，連接BH，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠EAB+∠DAC=180°，
∵∠EAB+∠BAH=180°，
∴∠DAC=∠BAH，
在△ABH與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AD}\\{∠BAH=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ACD（SAS）
∴BH=DC，
∵AD=AE，AH=AD，
∴AE=AH，
∵EF=FB，
∴BH=2AF，
∴CD=2AF；
（3）∵∠ADC=90°，AD=5，AC=13，
∴CD²=AC²-AD²=144，
則CD=12，
由（2）得，BH=CD=12，EH=EA+AH=10，
∵△ABH≌△ACD，
∴∠BHE=∠ADC=90°，
∴BE²=BH²+EH²=244．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)等．作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵．