Question

17．如圖，拋物線y=ax²+bx+$\sqrt{3}$與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點與y軸交于點C．
（1）求拋物線解析式；
（2）拋物線頂點D坐標(biāo)D（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），△ABC為直角三角形，在拋物線上除點C外，還存在另一點P，使△ABP與△ABC形狀相同，則P點坐標(biāo)P（2，$\sqrt{3}$）．（注：拋物線頂點坐標(biāo)$（-\frac{2a}，\frac{4ac-^{2}}{4a}）$．

Answer 1

分析 （1）直接把點A（-1，0），B（3，0）兩點代入拋物線的解析式即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)拋物線的解析式得出其頂點坐標(biāo)，再由拋物線的對稱性即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+$\sqrt{3}$與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點與y軸交于點C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+\sqrt{3}=0}\\{9a+3b+\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；

（2）∵A（-1，0），B（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線頂點坐標(biāo)D（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），C（0，$\sqrt{3}$），
∴AC²=1+3=4，BC²=3+9=12，AB²=16，
∴△ABC是直角三角形．
∵點C關(guān)于對稱軸對稱的點為（2，$\sqrt{3}$），
∴P（0，$\sqrt{3}$）．
故答案為：（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），直角，（2，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查的是相似三角形的判定，熟知拋物線的對稱性是解答此題的關(guān)鍵．