Question

3．在等腰直角三角形AOB中，已知AO⊥OB，點(diǎn)P、D分別在AB、OB上，
（1）如圖1中，若PO=PD，∠OPD=45°，證明△BOP是等腰三角形．
（2）如圖2中，若AB=10，點(diǎn)P在AB上移動(dòng)，且滿足PO=PD，DE⊥AB于點(diǎn)E，試問：此時(shí)PE的長度是否變化？若變化，說明理由；若不變，請(qǐng)予以證明．

Answer 1

分析 （1）由PO=PD，利用等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可求得∠POD=67.5°，∠OPB=67.5°，然后利用等角對(duì)等邊可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)可以得到∠COB=∠B=45°，OC=5，然后證得∠POC=∠DPE，進(jìn)而利用AAS證明△POC≌△DPE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OC=PE．

解答 （1）證明：∵PO=PD，∠OPD=45°，
∴∠POD=∠PDO=$\frac{180°-∠OPD}{2}$=67.5°，
∵等腰直角三角形AOB中，AO⊥OB，
∴∠B=45°，
∴∠OPB=180°-∠POB-∠B=67.5°，
∴∠POD=∠OPB，
∴BP=BO，即△BOP是等腰三角形；
（2）解：PE的值不變，為PE=5，證明如下：
如圖，過點(diǎn)O作OC⊥AB于C，
∵∠AOB=90°，AO=BO，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠COB=∠B=45°，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵PO=PD，
∴∠POD=∠PDO，
又∵∠POD=∠COD+∠POC=45°+∠POC，∠PDO=∠B+∠DPE=45°+∠DPE，
∴∠POC=∠DPE，
在△POC和△DPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCO=∠DEP=90°}\\{∠POC=∠DPE}\\{PO=DP}\end{array}\right.$，
∴△POC≌△DPE（AAS），
∴OC=PE=5，
∴PE的值不變，為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形等知識(shí)，解答（2）的關(guān)鍵是正確作出輔助線，并利用AAS證得△POC≌△DPE．