Question

11．發(fā)現(xiàn)問題：
如圖（1），在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．
我們可以進(jìn)行以下計算：
由題意可知：∠B=30°，∠C=90°，
可得到：c=2b，a=$\sqrt{3}$b，
所以a²-b²=（$\sqrt{3}$b）²-b²=2b²=b•c．
即a²-b²=bc．
提出猜想：
對于任意的△ABC，當(dāng)∠A=2∠B時，關(guān)系式a²-b²=bc都成立．

驗證猜想：
（1）（驗證特殊三角形）如圖（2），請你參照上述研究方法，對等腰直角三角形進(jìn)行驗證，判斷猜想是否正確，并寫出驗證過程；
已知：△ABC中，∠A=2∠B，∠A=90°
求證：a²-b²=bc．
（2）（驗證一般三角形）如圖（3），
已知：△ABC中，∠A=2∠B，
求證：a²-b²=bc．
結(jié)論應(yīng)用：
若一個三角形的三邊長恰為三個連續(xù)偶數(shù)，且∠A=2∠B，請直接寫出這個三角形三邊的長，不必說明理由．

Answer 1

分析 （1）等腰直角三角形中，∠A=90°，c=b，a=$\sqrt{2}$b，代入a²-b²=bc可以進(jìn)行驗證；
（2）延長BA至點D，使AD=AC=b，連接CD，則△ACD為等腰三角形．根據(jù)△ACD∽△CBD，相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，就可以求出所求證的結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，得∠A=90°，c=b，a=$\sqrt{2}$b，
∴a²-b²=（$\sqrt{2}$b）²-b²=b²=bc；
（2）小明的猜想是正確的．
理由如下：如圖，延長BA至點D，使AD=AC=b，連接CD，
則△ACD為等腰三角形，
∴∠BAC=2∠ACD，又∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠ACD=∠D，
∴△CBD為等腰三角形，即CD=CB=a，
又∠D=∠D，∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}$，
即$\frac{a}$，
∴a²=b²+bc，
∴a²-b²=bc；
結(jié)論應(yīng)用：
由于三邊長為三個連續(xù)整數(shù)，
設(shè)三個連續(xù)的偶數(shù)是2n-2，2n，2n+2，
則（2n+2）²-（2n-2）²=2n（2n-2），
解得：n=5，則三個數(shù)分別是：8，10，12．
可知：a=12，b=8，c=10．

點評 本題考查了勾股定理，要根據(jù)所給材料進(jìn)行探究，關(guān)鍵是正確認(rèn)識等腰直角三角形的邊的關(guān)系，證明△ACD∽△CBD是解題的關(guān)鍵．