Question

8．如圖，一次函數(shù) y₁=kx+2的圖象與反比例函數(shù)y₂=-$\frac{3}{x}$（x＜0）的圖象相交于A點，與y軸、x軸分別相交于B、C兩點，且BC=2AB．
（1）求一次函數(shù)的解析式，并直接寫出使得y₁≤y₂的x的取值范圍；
（2）設函數(shù)y₃=$\frac{a}{x}$（x＞0）的圖象與y₂=-$\frac{3}{x}$（x＜0）的圖象關于y軸對稱，在y₃=$\frac{a}{x}$（x＞0）的圖象上取一點P（P點的橫坐標大于2），過P作PQ⊥x軸，垂足為Q，若四邊形BCQP的面積等于2，求P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）在一次函數(shù)中令y=0可求得x=2，可求得B點坐標，過A作AH⊥x軸于H，由條件可求得A點坐標，代入一次函數(shù)解析式可求得k的值，可求得一次函數(shù)解析式，結合圖象可求得y₁≤y₂的x的取值范圍；
（2）由對稱性可求得y₃=$\frac{a}{x}$的解析式，設P點坐標為（m，n），連接OP，利用四邊形BCQP的面積可求得m的值，可求得P點坐標．

解答 解：（1）在y₁=kx+2中，令x=0，可求得y₁=2，
∴B（0，2），
如圖1，作AH⊥x軸于H，

∵BC=2AB，
∴AC=$\frac{3}{2}$BC，
∴AH=$\frac{3}{2}$OB=3，
∴A（-1，3），
代入y₁=kx+2，可得3=-k+2，解得k=-1，
∴一次函數(shù)解析式為y₁=-x+2，
∵A點坐標為（-1，3），
∴當-1≤x＜0時，y₁≤y₂；
（2）∵y₃=$\frac{a}{x}$（x＞0）的圖象與y₂=-$\frac{3}{x}$（x＜0）的圖象關于y軸對稱，
∴y₃=$\frac{3}{x}$（x＞0），
設P（m，n），其中m＞2，如圖2，連接OP，

則S_{四邊形BOQP}=S_△BOP+S_△POQ=S_△BOC+S_{四邊形BCQP}，
即$\frac{1}{2}$×2×m+$\frac{1}{2}$×3=$\frac{1}{2}$×2×2+2，解得m=$\frac{5}{2}$，
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{6}{5}$）．

點評 本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，掌握兩函數(shù)圖象的交點坐標滿足每個函數(shù)解析式是解題的關鍵，注意數(shù)形結合思想的應用．