Question

20．如圖，直線y=x+1與拋物線y=x²-2mx+m²+m交于A、B兩點（A在B左邊）．求證：無論m為何值，AB的長總為定值．

Answer 1

分析 聯(lián)立方程求得A、B的坐標，然后根據(jù)勾股定理即可求得．

解答 解：∵直線y=x+1與拋物線y=x²-2mx+m²+m交于A、B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2m+1-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{2m+3-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2m+1+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{2m+3+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$
∴AB=$\sqrt{（\frac{2m+1+\sqrt{5}}{2}-\frac{2m+1-\sqrt{5}}{2}）^{2}+（\frac{2m+3+\sqrt{5}}{2}{-\frac{2m+3-\sqrt{5}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∴無論m為何值，AB的長總為定值$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求得直線和拋物線的交點是解題的關(guān)鍵．