Question

16．如圖，直線l：y=kx+6與x軸、y軸分別相交于E、F，點E的坐標為（-9，0），點A的坐標為（-6，0），點P（x，y）是直線l上的一個動點．
（1）求出△OPA的面積S與x的函數關系式．
（2）當△OPA的面積為3.6時，求點P的坐標．
（3）若直線OP分△OEF的面積為1：2兩部分時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）思想求出直線EF的解析式，則P（x，$\frac{2}{3}$x+6），根據三角形的面積公式，利用分段函數表示S即可；
（2）利用（1）中結論，列出方程，解方程即可；
（3）由S_△EOF=$\frac{1}{2}$×9×6=27，直線OP分△OEF的面積為1：2兩部分，可得S_△PEO=9或18，可得$\frac{1}{2}$×9×（$\frac{2}{3}$x+6）=9或$\frac{1}{2}$×9×（$\frac{2}{3}$x+6）=18，解方程即可解決問題；

解答 解：（1）∵直線y=kx+6經過點E（-9，0），
∴-9k+6=0，
∴k=$\frac{2}{3}$，
∴y=$\frac{2}{3}$x+6，
∴P（x，$\frac{2}{3}$x+6），
∴S=$\frac{1}{2}$•OA•|$\frac{2}{3}$x+6|=$\left\{\begin{array}{l}{2x+18}&{（x≥-9）}\\{-2x-18}&{（x＜-9）}\end{array}\right.$．

（2）由題意2x+18=3.6或-2x-18=3.6，
解得x=-7.2或x=-10.8，
∴當△OPA的面積為3.6時，點P的坐標為（-7.2，1.2）或（-10.8，-1.2）．

（3）∵S_△EOF=$\frac{1}{2}$×9×6=27，直線OP分△OEF的面積為1：2兩部分，
∴S_△PEO=9或18，
∴$\frac{1}{2}$×9×（$\frac{2}{3}$x+6）=9或$\frac{1}{2}$×9×（$\frac{2}{3}$x+6）=18，
解得x=-6或-3，
此時點P坐標為（-6，2）或（-3，4）．

點評 本題考查三角形綜合題、一次函數圖象上點的坐標特點、三角形的面積公式等知識，熟知一次函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵，學會用構建方程的思想思考問題，把問題轉化為方程解決，屬于中考壓軸題．