Question

如圖，已知過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)AB：y=-2x+4和直線(xiàn)AC：y=

1

2

x-1，過(guò)原點(diǎn)O的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為B（1，2）
（1）直線(xiàn)AC與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

，∠CAB=

 

；
（2）求出拋物線(xiàn)的解析式；
（3）點(diǎn)P（m，n）是拋物線(xiàn)上OB間的一點(diǎn)
①作PQ平行于y軸交直線(xiàn)AC于點(diǎn)Q，當(dāng)線(xiàn)段PQ被x軸平分時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，四邊形PMAN能否為正方形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由直線(xiàn)AC：y=

1

2

x-1可知當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，即可求得直線(xiàn)AC與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，由于直線(xiàn)AB和直線(xiàn)AC的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以AB⊥AC，即∠CAB=90°．
（2）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線(xiàn)的解析式；
（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)交AB于E，作y軸的平行線(xiàn)交AC于F，則∠EBF=90°，根據(jù)四邊形PMAN為正方形，得出PM=PN，根據(jù)∠MPN=∠EPF=90°，得出∠MPE=∠NPF，進(jìn)而求得△MPE≌△NPF，得出PE=PF，設(shè)P的坐標(biāo)為（m，-2m²+4m），則E（m²-2m+2，-2m²+4m），F(xiàn)（m，

1

2

m-1），根據(jù)PE=PF得出關(guān)于m的方程，解方程即可求得m的值，進(jìn)而求得P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由直線(xiàn)AC：y=

1

2

x-1可知直線(xiàn)AC與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （0，-1），
由直線(xiàn)AB：y=-2x+4的斜率為-2，直線(xiàn)AC：y=

1

2

x-1的斜率為

1

2

，可知AB⊥AC，
所以∠CAB=90°．

（2）解

y=-2x+4 y= 1 2 x-1

得

x=2 y=0

，
∴A（2，0），
∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A、B、O三點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∴

0=4a+2b+c 2=a+b+c 0=c

，
解得

a=-2 b=4 c=0

．
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-2x²+4x．

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)交AB于E，作y軸的平行線(xiàn)交AC于F，則∠EBF=90°，
∵PM⊥AB于M，PN⊥AC，AB⊥AC，
∴四邊形PMAN是矩形，
設(shè)P的坐標(biāo)為（m，-2m²+4m），則E（m²-2m+2，-2m²+4m），F(xiàn)（m，

1

2

m-1），
∵四邊形PMAN為正方形，
∴PM=PN，
∵∠MPN=∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠NPF，
在△MPE和△NPF中，

∠PME=∠PNF=90° ∠MPE=∠NPF PM=PN

，
∴△MPE≌△NPF（AAS），
∴PE=PF，
∴m²-2m+2-m=-2m²+4m-

1

2

m+1，
解得，m=

1

6

，或m=2（舍去），
∴P（

1

6

，

11

18

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)的交點(diǎn)，直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的特征，待定系數(shù)法求解析式，三角形全等的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等，（3）三角形全等是本題的關(guān)鍵．