Question

9．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中點(diǎn)，連接PG、PC．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)，猜想PG與PC的關(guān)系，并證明．（提示：延長GP交CD于點(diǎn)E）
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，線段PC、PG還滿足（1）中的結(jié)論嗎？寫出你的猜想，并給與證明；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長線上時(shí)，線段PC、PG又有怎樣的關(guān)系，直接寫出你猜想．

Answer 1

分析 （1）延長GP交DC于點(diǎn)E，利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，得到CE=CG，CP是EG的中垂線，在Rt△CPG中，∠PCG=60°，即可得出PG=$\sqrt{3}$PC．
（2）延長GP交DA于點(diǎn)E，連接EC，GC，先證明△DPE≌△FPG，再證得△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG=60°，即可得出PG=$\sqrt{3}$PC．
（3）延長GP到H，使PH=PG，連接CH、DH，作FE∥DC，先證△GFP≌△HDP，再證得△HDC≌△GBC，在Rt△CPG中，∠PCG=60°，即可得出PG=$\sqrt{3}$PC．

解答 證明：（1）PC⊥PG且PG=$\sqrt{3}$PC，
如圖1：延長GP交DC于點(diǎn)E，

∵點(diǎn)P是DF的中點(diǎn)，
∴DP=FP，
∵△BGF是正三角形，
∴∠FGB=60°，
∴∠CGF=180°-60°=120°，
又∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴∠DCG=120°，
∴DC∥GF，
∴∠PDE=∠PFG，
在△PED和△PGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPD=∠GPF}\\{DP=FP}\\{∠PDE=∠PFG}\end{array}\right.$
∴△PED≌△PGF（ASA），
∴PE=PG，DE=FG，
∵DC=BC，
∴CE=CG，
∴CP是EG的中垂線，即PC⊥PG
在RT△CPG中，∠PCG=60°，
∴PG=$\sqrt{3}$PC．  
（2）猜想：CP⊥PG 且PG=$\sqrt{3}$PC．
如圖2，延長GP交DA于點(diǎn)E，連接EC，GC，

∵∠ABC=60°，△BGF是正三角形，
∴∠BFG=60°，
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP=∠GFP，
在△DPE和△FPG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDP=∠GFP}\\{DP=FP}\\{∠DPE=∠FPG}\end{array}\right.$
∴△DPE≌△FPG（ASA）
∴PE=PG，DE=FG=BG，
∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB，
在△CDE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDE=∠CBG=60°}\\{CD=CB}\end{array}\right.$
∴△CDE≌△CBG（SAS）
∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，
∴∠ECG=∠DCB=120°，
∵PE=PG，
∴PC⊥PG，∠PCG=$\frac{1}{2}$∠ECG=60°
∴PG=$\sqrt{3}$PC；
（3）猜想：PG=$\sqrt{3}$PC，PG⊥PC．
如圖3，延長GP到H，使PH=PG，連接CH，CG，DH，作FE∥DC

∵P是線段DF的中點(diǎn)，
∴FP=DP，
在△GFP和△HDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{FP=DP}\\{∠GPF=∠HPD}\\{GP=HP}\end{array}\right.$
∴△GFP≌△HDP（SAS），
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，
∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，點(diǎn)A、B、G又在一條直線上，
∴∠GBC=120°，
∵△BFG是等邊三角形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
在△HDC和△GBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{HD=GB}\\{∠HDC=∠GBC}\\{DC=BC}\end{array}\right.$
∴△HDC≌△GBC（SAS），
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，
即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴PG=$\sqrt{3}$PC．

點(diǎn)評 本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵．