Question

2．如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為 （0，3）與（1，2），以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線記為C₁：y₁=-x²+n；以E為頂點(diǎn)的拋物線記為C₂：y₂=ax²+bx+c，且拋物線C₂與y軸交于點(diǎn)P（0，$\frac{5}{2}$）．
（1）分別求出拋物線C₁和C₂的解析式，并判斷拋物線C₁會(huì)經(jīng)過點(diǎn)E嗎？
（2）若拋物線C₁和C₂中的y都隨x的增大而減小，請(qǐng)直接寫出此時(shí)x的取值范圍；
（3）在（2）的x的取值范圍內(nèi)，設(shè)新的函數(shù)y₃=y₁-y₂，求出函數(shù)y₃與x的函數(shù)關(guān)系式；問當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)y₃有最大值，求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法分別求解可得，再求出x=1時(shí)，y₁的值即可判斷拋物線C₁是否經(jīng)過點(diǎn)E；
（2）分別求出兩函數(shù)y隨x的增大而減小時(shí)x的范圍可得答案；
（3）將y₁、y₂代入y₃=y₁-y₂整理成一般式，再配方成頂點(diǎn)式可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意將點(diǎn)A（0，3）代入y₁=-x²+n，得：n=3，
∴y₁=-x²+3；
∵拋物線C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
∴設(shè)拋物線C₂的解析式為y=a（x-1）²+2，
將點(diǎn)P（0，$\frac{5}{2}$）代入，得：a+2=$\frac{5}{2}$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線C₂的解析式為y₂=$\frac{1}{2}$（x-1）²+2=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{5}{2}$，
當(dāng)x=1時(shí)，y₁=-1²+3=2，
∴拋物線C₁經(jīng)過點(diǎn)E；

（2）在y₁=-x²+3，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，
在y₂=$\frac{1}{2}$（x-1）²+2中，當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，拋物線C₁和C₂中的y都隨x的增大而減��；

（3）y₃=y₁-y₂=-x²+3-（$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{5}{2}$）=-$\frac{3}{2}$x²+x+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，
∵0＜x＜1，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)y₃有最大值，最大值為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的增減性是解本題的關(guān)鍵．