Question

6．在平面直角坐標系xOy中，點M（m，$\frac{k}{m}$）（k＞0的常數(shù)，且m＞0）．
（1）若k=5，點M在直線y=x-4，求點M的坐標；
（2）若直線y=-x+b（b＞0）與x軸、y軸分別交于點A和點B，點M在直線上有且只有一個位置，過點A與y軸平行的直線和過點B與x軸平行的直線交于點C，點M在直線AC上的點為點M₁，點M在直線BC上的點為點M₂，當S${\;}_{△O{M}_{1}{M}_{2}}$=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$時，求線段M₁M₂的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)k=5，點M在直線y=x-4，得到方程$\frac{5}{m}$=m-4，解方程求得m=5，可得點M的坐標為（5，1）；
（2）點M與M₁、M₂的橫坐標、縱坐標的關系的乘積：m×$\frac{k}{m}$=k，M₁與A橫坐標相同，所以M₁（b，$\frac{k}$），M₂與B縱坐標相同，所以M₂（$\frac{k}$，b），因為點M在直線y=-x+b（b＞0）上有且只有一個位置，可得$\frac{k}{m}$=-m+b，可得b²=4k，再根據(jù)S${\;}_{△O{M}_{1}{M}_{2}}$=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$可求線段M₁M₂的長．

解答 解：（1）∵k=5，點M在直線y=x-4，
∴$\frac{5}{m}$=m-4，
∴m=5，m=-1，
∵m＞0，
∴m=5，
∴M（5，1）；

（2）點M與M₁、M₂的橫坐標、縱坐標的關系的乘積：m×$\frac{k}{m}$=k，
M₁與A橫坐標相同，所以M₁（b，$\frac{k}$），
M₂與B縱坐標相同，所以M₂（$\frac{k}$，b），
因為點M在直線y=-x+b（b＞0）上有且只有一個位置，所以$\frac{k}{m}$=-m+b，
m²-bm+k=0，
△=b²-4k=0，b²=4k，
因為S${\;}_{△O{M}_{1}{M}_{2}}$=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$（$\frac{k}$+b）（$\frac{k}$-b）=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$，8k²+25k-3=0，
M₁M₂=2（b-$\frac{k}$）²=2（$\frac{^{2}-k}$）²=$\frac{9k}{2}$．

點評 考查了兩條直線相交或平行問題，兩條直線的平行問題，若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．