Question

19．關(guān)于x的一元二次方程x²+2mx+2n=0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y²+2ny+2m=0同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正．給出三個(gè)結(jié)論：①這兩個(gè)方程的根都是負(fù)根；②（m-1）²+（n-1）²≥2；③-1≤2m-2n≤1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 設(shè)方程x²+2mx+2n=0的兩根為x₁、x₂，方程y²+2ny+2m=0的兩根為y₁、y₂．
①根據(jù)方程解的情況可得出x₁•x₂=2n＞0、y₁•y₂=2m＞0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出x₁+x₂=-2m、y₁+y₂=-2n，進(jìn)而得出這兩個(gè)方程的根都是負(fù)根，①正確；②由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出m²-2n≥0、n²-2m≥0，將（m-1）²+（n-1）²展開代入即可得出②正確；③根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出2m-2n=（y₁+1）（y₂+1）-1、2n-2m=（x₁+1）（x₂+1）-1，結(jié)合x₁、x₂、y₁、y₂均為負(fù)整數(shù)即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)方程x²+2mx+2n=0的兩根為x₁、x₂，方程y²+2ny+2m=0的兩根為y₁、y₂．
①∵關(guān)于x的一元二次方程x²+2mx+2n=0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y²+2ny+2m=0同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，
∴x₁•x₂=2n＞0，y₁•y₂=2m＞0，
∵x₁+x₂=-2m，y₁+y₂=-2n，
∴這兩個(gè)方程的根都是負(fù)根，①正確；
②∵關(guān)于x的一元二次方程x²+2mx+2n=0有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一元二次方程y²+2ny+2m=0同樣也有兩個(gè)整數(shù)根且乘積為正，
∴4m²-8n≥0，4n²-8m≥0，
∴m²-2n≥0，n²-2m≥0，
∴（m-1）²+（n-1）²=m²-2n+1+n²-2m+1≥2，②正確；
③∵y₁•y₂=2m，y₁+y₂=-2n，
∴2m-2n=y₁•y₂+y₁+y₂=（y₁+1）（y₂+1）-1，
∵y₁、y₂均為負(fù)整數(shù)，
∴（y₁+1）（y₂+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x₁•x₂=2n，x₁+x₂=-2m，
∴2n-2m=x₁•x₂+x₁+x₂=（x₁+1）（x₂+1）-1，
∵x₁、x₂均為負(fù)整數(shù)，
∴（x₁+1）（x₂+1）≥0，
∴2n-2m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
綜上所述：成立的結(jié)論有①②③．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，逐一分析3條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．