Question

13．如圖，BC邊上的高為1的平行四邊形ABCD中，AB=a，∠ACD=80°，M是BC的中點(diǎn)，E為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，∠EMF=2∠D=100°．
（1）求證：ME=MF；
（2）當(dāng)EM⊥BC時(shí)，求AF的長；
（3）當(dāng)△BME為等腰三角形時(shí)，直接寫出AF的長（不要過程，用a表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠BAC=80°，根據(jù)∠EMF=2∠D=100°．得出∠D=50°，進(jìn)而求得∠B=∠ACB=50°，得出AB=AC，證得AM平分∠BAC，AM⊥BC，進(jìn)一步證得∠AEM=∠MFC，然后根據(jù)AAS證得△MEG≌△MFH，即可證得ME=MF；
（2）先證得E和A重合，進(jìn)而證得∠MAC=∠AFM=40°，證得AM=MF，從而證得AH=$\frac{1}{2}$AF，根據(jù)勾股定理AM²-AH²=MC²-HC²，設(shè)AH=x，則HC=a-x，得出1-x²=a²-1-（a-x）²，解方程即可求得．
（3）分三種情況分別討論確定即可．

解答 （1）證明：∵∠ACD=80°，AB∥CD，
∴∠BAC=80°，
∵∠EMF=2∠D=100°．
∴∠D=50°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D=50°，
∴∠ACB=50°，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC，
連接AM，∵BM=CM，
∴AM平分∠BAC，AM⊥BC，
∵∠BAC=80°，∠EMF=100°．
∴∠AEM+∠AFM=180°，
∴∠AEM=∠MFC，
過M作MG⊥AB于G，MH⊥AC于H，
∵AM平分∠BAC，
∴MG=MH，
在△MEG和△MFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠MFC}\\{∠MGE=∠MHF=90°}\\{GM=HM}\end{array}\right.$
∴△MEG≌△MFH（AAS），
∴ME=MF；
（2）解：∵AB=AC，BM=CM，
∴AM平分∠BAC，AM⊥BC，
∵EM⊥BC，
∴E和A重合，
∵∠BAC=80°，
∴∠MAC=40°，
∵∠AMF=100°，
∴∠AFM=40°，
∴AM=MF，
∵M(jìn)H⊥AF，
∴AH=$\frac{1}{2}$AF，
∵AC=AB=a，AM=1，
∴MC²=a²-1，
設(shè)AH=x，則HC=a-x，
∵AM²-AH²=MC²-HC²，
∴1-x²=a²-1-（a-x）²，
解得x=$\frac{1}{a}$，
∴AF=2x=$\frac{2}{a}$；
（3）解：∵AG=AH，GE=HF，
∴AF=AG+GE，
①當(dāng)BE=EM時(shí)，∵AM⊥BC，
∴EM=BE=AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，
∵△BMG∽△BAM，
∴$\frac{BG}{BM}$=$\frac{BM}{AB}$，
∴$\frac{BG}{\sqrt{{a}^{2}-1}}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$，
∴BG=a-$\frac{1}{a}$，
∴GE=$\frac{a}{2}$-（a-$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{2}$，
∴AG=AE+GE=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{1}{a}$，
∴AF=AG+GE=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{2}{a}$-$\frac{a}{2}$；
②當(dāng)BM=EM時(shí)，則BG=EG，
∵△BMG∽△BAM，
∴$\frac{BG}{BM}$=$\frac{BM}{AB}$，
∴$\frac{BG}{\sqrt{{a}^{2}-1}}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$，
∴BG=a-$\frac{1}{a}$，
∴AG=a-（a-$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$，
∴AF=AG+GE=$\frac{1}{a}$+a-$\frac{1}{a}$=a，
③當(dāng)BM=BE時(shí)，BE=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∵△BMG∽△BAM，
∴$\frac{BG}{BM}$=$\frac{BM}{AB}$，
∴$\frac{BG}{\sqrt{{a}^{2}-1}}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$，
∴BG=a-$\frac{1}{a}$，
∴AG=a-（a-$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$，GE=$\sqrt{{a}^{2}-1}$-（a-$\frac{1}{a}$）=$\sqrt{{a}^{2}-1}$-a+$\frac{1}{a}$
∴AF=AG+GE=$\frac{1}{a}$+$\sqrt{{a}^{2}-1}$-a+$\frac{1}{a}$=$\frac{2}{a}$-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$．
綜上，當(dāng)△BME為等腰三角形時(shí)，AF的長為$\frac{2}{a}$-$\frac{a}{2}$或a或$\frac{2}{a}$-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．