Question

5．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，E為AC上一點(diǎn)，且△EBC是等邊△，OF⊥AC于F，F(xiàn)O的延長(zhǎng)線交BE于G，AE=3，EG=2，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 作BM⊥AC于點(diǎn)M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)求出EF=1，根據(jù)垂徑定理求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出MC、BM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：作BM⊥AC于點(diǎn)M，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵△EBC為等邊三角形，
∴∠GEF=60°，
∴∠EGF=30°，
∵EG=2，
∴EF=1，
又∵AE=3，
∴CF=AF=4，
∴AC=8，EC=5，
∴BC=5，
∵∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°，
∴CM=$\frac{5}{2}$，BM=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
則AM=8-$\frac{5}{2}$=$\frac{11}{2}$，
∴AB=$\sqrt{B{M}^{2}+A{M}^{2}}$=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的外接圓和外心的有關(guān)知識(shí)，掌握垂徑定理、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．