Question

12．如圖，直線l₁過點A（0，3），點D（3，0），直線l₂：y=$\frac{1}{2}$x+1與x軸交于點C，兩直線l₁，l₂相交于點B．
（1）求直線l₁的解析式和點B的坐標；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法先求出直線l₁的解析式為y=-x+3；然后根據兩直線相交的問題，通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$可得到B點坐標；
（2）先求出C點坐標，然后利用S_△ABC=S_△ACD-S_△BCD進行計算．

解答 解：（1）設直線l₁的解析式為y=kx+b，
把A（0，3），點D（3，0）分別代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以直線l₁的解析式為y=-x+3；
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
所以B點坐標為（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$）；
（2）當y=0時，$\frac{1}{2}$x+1=0，解得x=-2，則C（-2，0），
所以S_△ABC=S_△ACD-S_△BCD=$\frac{1}{2}$×（3+2）×3-$\frac{1}{2}$×（3+2）×$\frac{5}{3}$=$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了兩條直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數相同，即k值相同．