Question

7．為解決鄭州交通擁堵的問題，政府決定北在A、D兩地修建高架路，為此，公交車不得不更改線路，原來直接由A到D的公交車現(xiàn)改為由A-B-C-D，如圖，其中A、B、C三地在同一直線上，D地在A地北偏東45°方向，在B地正北方向，在C地北偏西60°方向．C地在A地北偏東75°方向，B、D兩地相距2km．問更改線路后公交車多行了多遠？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 由已知D地在A地北偏東45°方向，C地在A地北偏東75°方向，D地在A地北偏東45°方向可知∠DAB=30°∠ADB=45°，則在△ABD中已知兩角和邊BD=2km，求AD的長，可以通過作AD邊上的高轉(zhuǎn)化為解直角三角形解決．

解答 解：過B作BH⊥AD于H．
依題意∠BDH=45°，∠CBD=75°，∠BAD=75°-45°=30°．
在Rt△BDH中，HD=BH=BD•cos45°=$\sqrt{2}$，
在Rt△ABH中，AH=$\frac{BH}{tan30°}$=$\sqrt{6}$，
AB=$\frac{BH}{sin30°}$=2$\sqrt{2}$，
∴AD=AH+HD=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
∵∠ABD=180°-75°=105°，
∴∠ADC=45°+60°=105°，
∴∠ABD=∠ADC．
又∠DAB=∠CAD，
∴△ABD∽△ADC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{AD}$，即$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{AC}$=$\frac{2}{CD}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$，
解得：AC=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，CD=$\sqrt{3}$+1．
∴AC+CD-AD=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$+1-$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$+1≈4（km）．
答：更改線路后公交車多行了4km．

點評 本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題．解決一般三角形的問題，可以通過作高線，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．