Question

9．將一副三角板按如圖方法擺放在一起，連接AC，則tan∠DAC值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先過點C作CE⊥AD于E，設(shè)CD=a，在Rt△BDC中，利用三角函數(shù)，可求BD，在Rt△DBA中，利用三角函數(shù)，可求AD，易證△CED是等腰直角三角形，從而利用三角函數(shù)可求CE、DE，于是在Rt△CAE中，可求tan∠EAC=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CE}{AD-DE}$，即tan∠DAC的值．

解答 解：如圖所示，過點C作CE⊥AD于E，

設(shè)CD=a，
在Rt△BDC中，∠DBC=30°，則
BD=cot30°×CD=$\sqrt{3}$a，
在Rt△DBA中，AD=sin45°×BD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
又∵CE⊥AD，∠BDA=45°，
∴DE=CE=sin45°×a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴在Rt△CAE中，tan∠EAC=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CE}{AD-DE}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{\sqrt{6}}{2}a-\frac{\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
即tan∠DAC=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了直角三角形的性質(zhì)、特殊三角函數(shù)值．解本題最關(guān)鍵的是作輔助線CE，構(gòu)造直角三角形．